25-06 Proyecto número pi

Georges Louis Leclerc(1707-88), Conde de Buffon fue un celebre naturalista francés autor de una monumental Historia Natural en 44 tomos que recopilaba el conocimiento científico con un fin eminentemente divulgativo. Hoy en día su nombre aparece muchas veces asociado a un problema denominado "La aguja de Buffon" que relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada.

Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es :

Vamos a utilizar este resultado para medir

Material Necesario

• Una superficie con líneas paralelas (Puede servir una hoja de papel sobre la que previamente hayas dibujado varias líneas equidistantes o un suelo embaldosado)
• Una aguja, palillo u objeto similar, de longitud menor o igual a la distancia entre líneas (Para simplificar es conveniente que la distancia entre dos rayas coincida con la longitud de la aguja)

Método

• Deja caer, de la forma más aleatoria posible, la aguja sobre la superficie.
• Anota el número de tiradas y el número de veces que la aguja corta a una línea.
• El cociente entre el número total de tiradas y el número de veces que la aguja corta a una línea tiende a pi/2 ( se parecerá tanto más cuanto mayor sea el número de tiradas)

• Si la aguja tiene una longitud (L) menor que la distancia entre dos líneas (D) :

Datos obtenidos

A) Lanzamientos por día

Cabe destacar que el valor 3,112328767, obtenido el día 14 de mayo, en el patio del recreo, con 568 lanzamientos, dista del verdadero valor de pi menos de 0,03.

B) Lanzamientos acumulados

Después de 3903 lanzamientos hemos obtenido el valor 3,103777336 con un error de sólo 0,0378.

Si analizamos cómo evoluciona dicho error a medida que aumentan los lanzamientos obtenemos la siguiente gráfica (última columna). Aparece claramente que dicho error tiende a disminuir según aumenta el número de lanzamientos.

De todas maneras, no debemos olvidar que Pi es el número que se obtiene de dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro. No importa el tamaño de la circunferencia. Grande o pequeña, la proporción entre su longitud y su diámetro es siempre la misma. Aunque es probable que esta propiedad fuera conocida con anterioridad, la primeras pruebas que tenemos de su conocimiento son el papiro de Moscú de 1850 a.C. y el papiro Rhind de 1650 a.C. (aunque es una copia de un documento más antiguo). En ellos se tratan varios problemas matemáticos, en algunos de los cuales se aproxima π como 256/81, lo que se desvía poco más del 0.6% de su valor real. Más o menos por la misma época, los babilonios daban a π el valor de 25/8. (¡Mejores aproximaciones que la nuestra!)