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25-06 Proyecto número pi

Georges Louis Leclerc(1707-88), Conde de Buffon fue un celebre naturalista francés autor de una monumental Historia Natural en 44 tomos que recopilaba el conocimiento científico con un fin eminentemente divulgativo. Hoy en día su nombre aparece muchas veces asociado a un problema denominado "La aguja de Buffon" que relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada.

Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es :

imagen1

Vamos a utilizar este resultado para medir imagen11


Material Necesario

  • Una superficie con líneas paralelas (Puede servir una hoja de papel sobre la que previamente hayas dibujado varias líneas equidistantes o un suelo embaldosado)
  • Una aguja, palillo u objeto similar, de longitud menor o igual a la distancia entre líneas (Para simplificar es conveniente que la distancia entre dos rayas coincida con la longitud de la aguja)

Método

imagen2

  • Deja caer, de la forma más aleatoria posible, la aguja sobre la superficie.
  • Anota el número de tiradas y el número de veces que la aguja corta a una línea.
  • El cociente entre el número total de tiradas y el número de veces que la aguja corta a una línea tiende a pi/2 ( se parecerá tanto más cuanto mayor sea el número de tiradas)

imagen3

  • Si la aguja tiene una longitud (L) menor que la distancia entre dos líneas (D) :

imagen4

Datos obtenidos

A) Lanzamientos por día

Día

Cursos

Total

Sí Tocan

No Tocan

APROX

ERROR

 

 

 

 

 

 

 

06/04/15

2esoC-3esoC

200

125

75

3,2

0,058407346

13/04/15

5PrimariaC

210

149

61

2,818791946

0,322800707

16/04/15

6Primaria

400

249

151

3,212851406

0,071258752

16/04/15

4eso

155

87

68

3,563218391

0,421625737

 

4eso

599

416

183

2,879807692

0,261784961

05/05/15

1esoC

220

149

71

2,953020134

0,188572519

 

5PrimB-1esoA

340

200

140

3,4

0,258407346

 

1esoB

108

60

48

3,6

0,458407346

13/05/15

Patio Recreo

532

356

176

2,988764045

0,152828609

14/05/15

Patio Recreo

568

365

203

3,112328767

0,029263886

 

1Bach

571

359

212

3,181058496

0,039465842

                                                    

                                                      imagen6

Cabe destacar que el valor 3,112328767, obtenido el día 14 de mayo, en el patio del recreo, con 568 lanzamientos, dista del verdadero valor de pi menos de 0,03.

                                                      imagen7

B) Lanzamientos acumulados

Día

Cursos

AC. Total

AC. Sí

AC.No

AC. APROX

ERROR

06/04/15

2esoC-3esoC

200

125

75

3,2

0,058407346

13/04/15

5PrimariaC

410

274

136

2,99270073

0,148891924

16/04/15

6Primaria

810

523

287

3,09751434

0,044078313

16/04/15

4eso

965

610

355

3,163934426

0,022341773

4eso

1564

1026

538

3,048732943

0,09285971

05/05/15

1esoC

1784

1175

609

3,036595745

0,104996909

5PrimariaB-1esoA

2124

1375

749

3,089454545

0,052138108

1esoB

2232

1435

797

3,110801394

0,03079126

13/05/15

Patio Recreo

2764

1791

973

3,08654383

0,055048823

14/05/15

Patio Recreo

3332

2156

1176

3,090909091

0,050683563

1Bach

3903

2515

1388

3,103777336

0,037815318

                                             

Después de 3903 lanzamientos hemos obtenido el valor 3,103777336 con un error de sólo 0,0378.

Si analizamos cómo evoluciona dicho error a medida que aumentan los lanzamientos obtenemos la siguiente gráfica (última columna). Aparece claramente que dicho error tiende a disminuir según aumenta el número de lanzamientos.

                                         imagen9

De todas maneras, no debemos olvidar que Pi es el número que se obtiene de dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro. No importa el tamaño de la circunferencia. Grande o pequeña, la proporción entre su longitud y su diámetro es siempre la misma. Aunque es probable que esta propiedad fuera conocida con anterioridad, la primeras pruebas que tenemos de su conocimiento son el papiro de Moscú de 1850 a.C. y el papiro Rhind de 1650 a.C. (aunque es una copia de un documento más antiguo). En ellos se tratan varios problemas matemáticos, en algunos de los cuales se aproxima π como 256/81, lo que se desvía poco más del 0.6% de su valor real. Más o menos por la misma época, los babilonios daban a π el valor de 25/8. (¡Mejores aproximaciones que la nuestra!)